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职称驿站所属分类:教育技术论文发布时间:2011-10-21 15:12:22浏览:1

在高等数学学习中,大多数学生对于分部积分法感到困难,其关键在于不能正确地选取分部积分法公式中的和。本文作者结合自己的教学实践,归纳总结出一种利用分部积分法求积分的技巧,即:“口诀法”。

摘要:在高等数学学习中,大多数学生对于分部积分法感到困难,其关键在于不能正确地选取分部积分法公式中的和。本文作者结合自己的教学实践,归纳总结出一种利用分部积分法求积分的技巧,即:“口诀法”。
关键词:高等数学;分部积分法;口诀

引言
高等数学是我院工科各专业开设的一门重要必修基础课程。微分与积分是高等数学教学的重点,而积分运算比微分运算难得多,这主要是因为积分运算没有一种统一的方法。直接积分法是求积分的基本方法,换元积分法是求积分的重要方法,分部积分法则是求积分的有效方法,是教学中的一个重点,也是一个难点。在教学过程中如何突破这个难点呢?笔者结合自己的教学实践,归纳总结出一种利用分部积分法求积分的技巧,称之谓:“口诀法”。现介绍如下:

分部积分公式
定理:若和可导,且不定积分存在,则也存在,并有:

也可以写成:=.
应用此公式应注意:
(1)要用凑微分容易求得,
(2)比容易积出。
2 分部积分公式的解题步骤
当被积表达式为两个不同类型函数相乘时,可以按下面步骤使用分部积分公式:
确定;
把被积表达式余下的部分与一起凑成
3 分部积分公式的使用关键——恰当合理选择的顺序
选择的经验顺序为:“反、对、幂、三、指”,即依次表示:反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数。
注意:常数也视为幂函数。
口诀为:“反、对、幂、三、指,谁前谁为”

实例分析

分析:被积函数为“幂函数和三角函数”,选幂函数。
解:设,
则 ,


分析:被积函数为“幂函数和指数函数”,选幂函数。
解:设,
则 ,


分析:被积函数为“幂函数和对数函数”,选对数函数。
解:设,
则 ,


分析:被积函数为“幂函数和反三角函数”,选反三角函数。
解:设,
则 ,

分部积分法的应用
利用分部积分公式建立递推关系
有许多重要的递推公式, 是靠分部积分法来建立的, 它们大多是非标准类型, 需要灵活运用分部积分法, 下面给出一例:

解:这是有理函数积分中的一种基本形式,现导出其递推公式,
记 ,则=
=
对其最后一项用分部积分法,令,则:

所以:
=
代入原式并整理得:
特别地,
总结
有些函数的不定积分需多次使用分部积分法来进行求解,我们只要根据“反、对、幂、三、指,谁前谁为”来选定和,从而使运算过程简单直观,且计算不容易出错,不失为一种好方法,总之,只要记住分部积分公式,记住口诀,就能准确迅速地利用分部积分法求出积分来。

参考文献:
[1]同济大学数学教研室. 高等数学(第五版,上册)[M] . 北京:高等教育出版社,2002.
[2]欧阳光中,朱学炎,金福临, 陈传璋. (第三版,上册) 数学分析[M] . 北京:高等教育出版社,2007.
[3]华东师范大学数学系. (第三版,上册) 数学分析[M] . 北京:高等教育出版社,2001.


 

《浅谈分部积分法的使用技巧》
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